穿越11年的数学长跑：寻找那颗最完美的“鹅卵石”
穿越11年的数学长跑：寻找那颗最完美的“鹅卵石”
中科大两位教授证明国际数学界20多年悬而未决的核心猜想前后
王兵教授解释“哈密尔顿—田”猜想的大致原理。记者陈诺摄
“著名学者弗里曼·戴森说，有些数学家是鸟，有些是青蛙。飞鸟可以俯瞰延伸至遥远地平线的数学远景，青蛙则乐于深入探讨特定问题的细节。至于我们，就像是池塘边碰巧发现美丽花朵的青蛙。”
近期，中国科学技术大学教授陈秀雄、王兵取得重大突破，证明了“哈密尔顿—田”和“偏零阶估计”这两个国际数学界20多年悬而未决的核心猜想。面对如潮赞誉，他们这样说。
能完全看懂的“不到10人”
陈秀雄、王兵的论文，发表于国际顶级数学期刊《微分几何学杂志》。
学术界有人说，这篇长达123页的论文，全世界能完全看懂的估计“不到10人”。“确认过眼神，我是看不懂的人。”网友的态度真实而可爱。有科普作家说，“这是最难进行的一次科普。”
那么，他们到底证明了什么？
“我们在沙滩上看到的鹅卵石大多是圆润的，它一开始可能有棱有角，但随着时空流转、潮起潮落，形状会越来越接近完美、标准。然而即便再完美的演化，鹅卵石也可能包含一些异变之处，几何上称为‘奇点’。简单来说，‘哈密尔顿—田猜想’即猜测大多数地方都是完美的，而‘奇点’的大小是可控的，被限制在一个低维空间。”陈秀雄说，他和王兵，就是在数学上严格证明了这个猜想，并以此为基础证明了分析领域的“偏零阶估计猜想”。
数学猜想，是关于某个自然现象或理论的猜测、假设，如果被数学方法证明为正确的，就成为定理；证明为错误的则抛弃。
“提出猜想——证明或证伪，再提出猜想——再证明或证伪……日日新，又日新，这就是数学发展的路径。”王兵说，“这也是人类对自然认知不断加深的过程。”
微分几何学是研究空间几何的学问，在这个领域，出现过欧拉、高斯、黎曼等伟大的名字。大到宇宙膨胀，小到热胀冷缩，诸多自然现象都可以归结到空间演化。“哈密尔顿—田猜想”和“偏零阶估计猜想”提出于20世纪90年代，属于数学界的核心猜想。
“鹅卵石会越变越完美，几何结构会变成一个期待的形状。我们把自然现象用数学工具做了证明。”陈秀雄说。
可能100年后才有用
“这两个猜想有什么用？”在一些网站上，这是个热点话题。有学术界网友认为，应该更长远地看待这个问题，现在前沿的数学成果，“可能100年后才有用”。
“跟随自己的内心，好奇心驱动我们的研究。”陈秀雄说，基础研究一般不直接着眼于应用，但社会发展证明了基础研究的作用。
微分几何学起源于17世纪，对物理学、天文学、工程学等发展产生了巨大推动作用，广义相对论、量子场论等都依赖微分几何作为数学基础。
对人工智能、机器人、VR（虚拟现实）等现代技术，微分几何同样不可或缺。比如电影、游戏特效依靠计算机图形学，微分几何学就是其基础。
“人工智能是对真实世界的有效逼近。比如自动驾驶技术，可以把前20年所有的车祸信息都录入数据库，但世界是向前发展的，如何应对并避开新情况下的车祸？”陈秀雄说，这个问题或许可以用微分几何的思想解决，对未来可能出现的车祸进行“猜想”，从而提前规避。
在黑屋子里“找门”
研究猜想用了5年，论文篇幅长达123页，发表出来又花了6年……相比猜想本身，这些数字背后的故事同样引人遐思。
11年前，当27岁的美国普林斯顿大学博士后王兵提出主攻“哈密尔顿—田猜想”时，他的导师陈秀雄吃了一惊。3年的博士后，做出科研成果才能申请正式教职。但以这个猜想的难度，3年几无可能，甚至可能会被“卡住”“迷失”，毁掉学术生涯。
“导师担心我把自己置于危险境地。”王兵说，也想先做点容易的研究，但发现做不到，“做别的什么都沉不下来，茶不思、饭不想，成天想着这个事。”
数学之美让来自中科大少年班的王兵痴迷，这已非一天两天。2003年，俄罗斯学者格里高里·佩雷尔曼历经8年，证明了著名的庞加莱猜想。
“要说好在哪里，说不出来，就像王维的诗，你能说清楚美在哪里？我就是着迷。”王兵说，佩雷尔曼突破的更大意义在于，打开了一个宏大瑰丽的科研“宝藏”入口，让全球的青年数学粉丝为之痴狂。
整整啃了两年，王兵读懂了佩雷尔曼的3篇雄文，还发现了其中一个错漏，佩雷尔曼很快回信表示认可。
但“哈密尔顿—田猜想”之难远超想象。“2012年3月我在夏威夷开会，看着窗外美景，忽然想起来，我们的论证有个漏洞。这意味着干了两年多的研究要推倒重来，写了五十多页的论文要从零开始。”王兵说，这种大错误犯过两次，小的不计其数。
“证明未知的猜想，就像在一个方圆1平方公里的黑屋子里找路，没有任何光亮，但你要在1个小时内找到唯一一扇能出去的门。”陈秀雄说，最有效的方式是朝着一个方向走，但人往往走了不久就开始嘀咕：万一方向不对呢？
“所以，好的数学一定是发自内心的，你很喜欢，相信它是对的。”研究了30多年数学的陈秀雄说。
论文长，解释更长
2014年初夏，历经5年苦斗，他们终于完成了猜想的证明，并将成果预印本张贴到学术网站，引起行业内不小的震动。
为了将证明完整呈现，王兵将论文投稿到一家知名数学期刊，不料却开启了另一段长征。
猜想证明中有很多新概念、新方法，这家期刊的匿名审稿人不断提出疑问，他们就不断回复解释。两年间，回复多达十几次，回复内容累积近200页，比原文还长。
就在他们以为都解释清楚了，却收到了拒稿信，审稿人含糊地表示，仍对部分解释不满意。
但同时，学术网站上却出现了另一篇立意相近、结构类似的论文。作者是一名欧洲人，他的论文架构基于陈秀雄、王兵论文的关键想法，却宣称自己证明了“哈密尔顿—田猜想”。
多年成果可能会被抢走，陈秀雄和王兵将文章分成两部分，分别投稿给不同的学术杂志，都在2017年年底被接受。由于杂志排期原因，2017年和今年，他们103页的论文前半部分和123页的后半部分，分别得以发表。
而那位欧洲学者在正式发表的论文中，也明确注明陈秀雄、王兵已经先行证明了“哈密尔顿—田猜想”。至此，争议尘埃落定。
《微分几何学杂志》审稿人评论认为，陈秀雄、王兵的论文是几何分析领域的重大进展，将激发诸多相关研究。菲尔兹奖获得者西蒙·唐纳森称赞说，这是“几何领域近年来的重大突破”。
此时，距离他们启动研究，已过去了11年。
回国，这里有最好的学生
走进王兵的办公室，最引人注目的是一个大黑板，几乎占据纵向一面墙。“我还嫌不够大，写几步就没地方了。”在王兵看来，数学是长跑是积累，“不写在黑板上，想的东西可能是错的。”
2018年，已在美国获得终身教职的王兵与夫人一起回国，一是为了“归属感”，二是因为“这里有最好的学生”。
在正常教学之外，王兵创办了一个“讨论班”，每周一三开课，20多个学生中部分来自本校，更多是天南海北慕名而来的“数学门徒”。
21岁的徐钰伦是来自复旦大学数学系的“学霸”，4个月前来到合肥，租住在中科大学校旁的一间公寓。
一间教室、一块黑板，每次围绕一篇论文，一人上台讲，大家台下听。徐钰伦说，当学生在台上讲不下去了，王兵就会从凳子上“跳”到讲台上，拿起粉笔与大家一起向下推导。“大家欢笑着讨论数学，非常纯净。我觉得，这就是数学爱好者的天堂。”
来自辽宁的一位中科院博士生说，当读懂一篇论文、解决一个难题，有些洋洋得意，王老师会告诉他，“提问题比解决问题更重要”“数学的边界是越来越大的”。
“上士闻道，勤而行之；中士闻道，若存若亡；下士闻道，大笑之。”21岁的赵新锐说，自己在讨论班上记得最清楚的，是导师引用《道德经》里的这段话，“这是数学研究的境界和旨趣所在。”
留下新的“鹅卵石”
“现在的学生，比我当年在中科大读书时的水平高得多，一些本科生已经达到了国外名校研究生水平。”王兵说，数学强调一代代人的积累，不仅是一个人，而是一个大学、一个国家的事，他看好中国数学的前景。
对证明猜想所引起的巨大社会反响，陈秀雄和王兵都“出乎意料”。“我很高兴，希望能吸引更多的年轻人来研究基础学科，不仅是数学，还有物理、化学……基础性的工作需要有人做。”陈秀雄说。
“论文发表以后，我收到很多邮件，大多是要论文，不少人表达对数学的仰慕，还有人自称是‘被金融耽误的数学爱好者’。”王兵说，中国日渐强大，需要更多优秀的年轻人进来，夯实国家的数学之基。
在佩雷尔曼证明庞加莱猜想的论文中，留下了一段话：下一步，准备研究“哈密尔顿—田猜想”。
“这个指引，是我们研究这一猜想的原因。”王兵说，如果证明“哈密尔顿—田猜想”是寻找“最完美的鹅卵石”，在他俩那篇论文和以后的其他论文中，他们也留下了新的方向、新的线索。如同新的“鹅卵石”，这是数学界的传承，也是指向未来的路标。 (记者徐海涛、陈诺)
王兵教授解释“哈密尔顿—田”猜想的大致原理。记者陈诺摄
“著名学者弗里曼·戴森说，有些数学家是鸟，有些是青蛙。飞鸟可以俯瞰延伸至遥远地平线的数学远景，青蛙则乐于深入探讨特定问题的细节。至于我们，就像是池塘边碰巧发现美丽花朵的青蛙。”
近期，中国科学技术大学教授陈秀雄、王兵取得重大突破，证明了“哈密尔顿—田”和“偏零阶估计”这两个国际数学界20多年悬而未决的核心猜想。面对如潮赞誉，他们这样说。
能完全看懂的“不到10人”
陈秀雄、王兵的论文，发表于国际顶级数学期刊《微分几何学杂志》。
学术界有人说，这篇长达123页的论文，全世界能完全看懂的估计“不到10人”。“确认过眼神，我是看不懂的人。”网友的态度真实而可爱。有科普作家说，“这是最难进行的一次科普。”
那么，他们到底证明了什么？
“我们在沙滩上看到的鹅卵石大多是圆润的，它一开始可能有棱有角，但随着时空流转、潮起潮落，形状会越来越接近完美、标准。然而即便再完美的演化，鹅卵石也可能包含一些异变之处，几何上称为‘奇点’。简单来说，‘哈密尔顿—田猜想’即猜测大多数地方都是完美的，而‘奇点’的大小是可控的，被限制在一个低维空间。”陈秀雄说，他和王兵，就是在数学上严格证明了这个猜想，并以此为基础证明了分析领域的“偏零阶估计猜想”。
数学猜想，是关于某个自然现象或理论的猜测、假设，如果被数学方法证明为正确的，就成为定理；证明为错误的则抛弃。
“提出猜想——证明或证伪，再提出猜想——再证明或证伪……日日新，又日新，这就是数学发展的路径。”王兵说，“这也是人类对自然认知不断加深的过程。”
微分几何学是研究空间几何的学问，在这个领域，出现过欧拉、高斯、黎曼等伟大的名字。大到宇宙膨胀，小到热胀冷缩，诸多自然现象都可以归结到空间演化。“哈密尔顿—田猜想”和“偏零阶估计猜想”提出于20世纪90年代，属于数学界的核心猜想。
“鹅卵石会越变越完美，几何结构会变成一个期待的形状。我们把自然现象用数学工具做了证明。”陈秀雄说。
可能100年后才有用
“这两个猜想有什么用？”在一些网站上，这是个热点话题。有学术界网友认为，应该更长远地看待这个问题，现在前沿的数学成果，“可能100年后才有用”。
“跟随自己的内心，好奇心驱动我们的研究。”陈秀雄说，基础研究一般不直接着眼于应用，但社会发展证明了基础研究的作用。
微分几何学起源于17世纪，对物理学、天文学、工程学等发展产生了巨大推动作用，广义相对论、量子场论等都依赖微分几何作为数学基础。
对人工智能、机器人、VR（虚拟现实）等现代技术，微分几何同样不可或缺。比如电影、游戏特效依靠计算机图形学，微分几何学就是其基础。
“人工智能是对真实世界的有效逼近。比如自动驾驶技术，可以把前20年所有的车祸信息都录入数据库，但世界是向前发展的，如何应对并避开新情况下的车祸？”陈秀雄说，这个问题或许可以用微分几何的思想解决，对未来可能出现的车祸进行“猜想”，从而提前规避。
在黑屋子里“找门”
研究猜想用了5年，论文篇幅长达123页，发表出来又花了6年……相比猜想本身，这些数字背后的故事同样引人遐思。
11年前，当27岁的美国普林斯顿大学博士后王兵提出主攻“哈密尔顿—田猜想”时，他的导师陈秀雄吃了一惊。3年的博士后，做出科研成果才能申请正式教职。但以这个猜想的难度，3年几无可能，甚至可能会被“卡住”“迷失”，毁掉学术生涯。
“导师担心我把自己置于危险境地。”王兵说，也想先做点容易的研究，但发现做不到，“做别的什么都沉不下来，茶不思、饭不想，成天想着这个事。”
数学之美让来自中科大少年班的王兵痴迷，这已非一天两天。2003年，俄罗斯学者格里高里·佩雷尔曼历经8年，证明了著名的庞加莱猜想。
“要说好在哪里，说不出来，就像王维的诗，你能说清楚美在哪里？我就是着迷。”王兵说，佩雷尔曼突破的更大意义在于，打开了一个宏大瑰丽的科研“宝藏”入口，让全球的青年数学粉丝为之痴狂。
整整啃了两年，王兵读懂了佩雷尔曼的3篇雄文，还发现了其中一个错漏，佩雷尔曼很快回信表示认可。
但“哈密尔顿—田猜想”之难远超想象。“2012年3月我在夏威夷开会，看着窗外美景，忽然想起来，我们的论证有个漏洞。这意味着干了两年多的研究要推倒重来，写了五十多页的论文要从零开始。”王兵说，这种大错误犯过两次，小的不计其数。
“证明未知的猜想，就像在一个方圆1平方公里的黑屋子里找路，没有任何光亮，但你要在1个小时内找到唯一一扇能出去的门。”陈秀雄说，最有效的方式是朝着一个方向走，但人往往走了不久就开始嘀咕：万一方向不对呢？
“所以，好的数学一定是发自内心的，你很喜欢，相信它是对的。”研究了30多年数学的陈秀雄说。
论文长，解释更长
2014年初夏，历经5年苦斗，他们终于完成了猜想的证明，并将成果预印本张贴到学术网站，引起行业内不小的震动。
为了将证明完整呈现，王兵将论文投稿到一家知名数学期刊，不料却开启了另一段长征。
猜想证明中有很多新概念、新方法，这家期刊的匿名审稿人不断提出疑问，他们就不断回复解释。两年间，回复多达十几次，回复内容累积近200页，比原文还长。
就在他们以为都解释清楚了，却收到了拒稿信，审稿人含糊地表示，仍对部分解释不满意。
但同时，学术网站上却出现了另一篇立意相近、结构类似的论文。作者是一名欧洲人，他的论文架构基于陈秀雄、王兵论文的关键想法，却宣称自己证明了“哈密尔顿—田猜想”。
多年成果可能会被抢走，陈秀雄和王兵将文章分成两部分，分别投稿给不同的学术杂志，都在2017年年底被接受。由于杂志排期原因，2017年和今年，他们103页的论文前半部分和123页的后半部分，分别得以发表。
而那位欧洲学者在正式发表的论文中，也明确注明陈秀雄、王兵已经先行证明了“哈密尔顿—田猜想”。至此，争议尘埃落定。
《微分几何学杂志》审稿人评论认为，陈秀雄、王兵的论文是几何分析领域的重大进展，将激发诸多相关研究。菲尔兹奖获得者西蒙·唐纳森称赞说，这是“几何领域近年来的重大突破”。
此时，距离他们启动研究，已过去了11年。
回国，这里有最好的学生
走进王兵的办公室，最引人注目的是一个大黑板，几乎占据纵向一面墙。“我还嫌不够大，写几步就没地方了。”在王兵看来，数学是长跑是积累，“不写在黑板上，想的东西可能是错的。”
2018年，已在美国获得终身教职的王兵与夫人一起回国，一是为了“归属感”，二是因为“这里有最好的学生”。
在正常教学之外，王兵创办了一个“讨论班”，每周一三开课，20多个学生中部分来自本校，更多是天南海北慕名而来的“数学门徒”。
21岁的徐钰伦是来自复旦大学数学系的“学霸”，4个月前来到合肥，租住在中科大学校旁的一间公寓。
一间教室、一块黑板，每次围绕一篇论文，一人上台讲，大家台下听。徐钰伦说，当学生在台上讲不下去了，王兵就会从凳子上“跳”到讲台上，拿起粉笔与大家一起向下推导。“大家欢笑着讨论数学，非常纯净。我觉得，这就是数学爱好者的天堂。”
来自辽宁的一位中科院博士生说，当读懂一篇论文、解决一个难题，有些洋洋得意，王老师会告诉他，“提问题比解决问题更重要”“数学的边界是越来越大的”。
“上士闻道，勤而行之；中士闻道，若存若亡；下士闻道，大笑之。”21岁的赵新锐说，自己在讨论班上记得最清楚的，是导师引用《道德经》里的这段话，“这是数学研究的境界和旨趣所在。”
留下新的“鹅卵石”
“现在的学生，比我当年在中科大读书时的水平高得多，一些本科生已经达到了国外名校研究生水平。”王兵说，数学强调一代代人的积累，不仅是一个人，而是一个大学、一个国家的事，他看好中国数学的前景。
对证明猜想所引起的巨大社会反响，陈秀雄和王兵都“出乎意料”。“我很高兴，希望能吸引更多的年轻人来研究基础学科，不仅是数学，还有物理、化学……基础性的工作需要有人做。”陈秀雄说。
“论文发表以后，我收到很多邮件，大多是要论文，不少人表达对数学的仰慕，还有人自称是‘被金融耽误的数学爱好者’。”王兵说，中国日渐强大，需要更多优秀的年轻人进来，夯实国家的数学之基。
在佩雷尔曼证明庞加莱猜想的论文中，留下了一段话：下一步，准备研究“哈密尔顿—田猜想”。
“这个指引，是我们研究这一猜想的原因。”王兵说，如果证明“哈密尔顿—田猜想”是寻找“最完美的鹅卵石”，在他俩那篇论文和以后的其他论文中，他们也留下了新的方向、新的线索。如同新的“鹅卵石”，这是数学界的传承，也是指向未来的路标。 (记者徐海涛、陈诺)
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